用动态规划轻松解决问题：从日常生活到编程

发布时间：2024-12-12 14:42

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前言：今天我们来聊聊动态规划（Dynamic Programming, 简称DP）。

什么是动态规划？

动态规划是一种非常高效的算法设计方法，适用于分阶段解决问题。其核心思想是将问题分解为相互重叠的子问题，存储子问题的结果，避免重复计算，从而降低时间复杂度。

生活中的动态规划例子

我们先来看一个生活中的例子。有一天，你决定为你的家人准备一顿大餐。有三道菜需要你在不同时间点准备，但你只能在每个小时中选择准备某一道菜。这些菜分别是：

前菜（Appetizer）：需要1小时，满足度为1。主菜（Main Course）：需要2小时，满足度为5。甜点（Dessert）：需要1.5小时，满足度为3。

假设你有4小时的准备时间，如何安排才能让家人享受最多的满足度？

构建动态规划模型

我们可以把这个问题看作是一个背包问题（Knapsack Problem），其中：

物品的“重量”是每道菜需要的时间（小时数）。物品的“价值”是菜肴带来的满足度。“背包”的容量是总的准备时间（4小时）。

要解决此问题，我们可以通过动态规划来进行求解：

使用一个数组 dp 存储在每个小时数下最大化的满足度。遍历每一道菜，并更新 dp 数组。

可以总结动态规划的过程如下：

初始状态：dp[0] 初始化为0，表示不花时间就没有满足度。状态转移方程：dp[i] = max(dp[i], dp[i - time] + value)，结合前面的最大满足度与当前菜的满足度。

下面是具体的代码实现：

public class MealPlanner { // 菜肴类 static class Dish { int time; // 准备时间 int value; // 满足度 Dish(int time, int value) { this.time = time; this.value = value; } } // 动态规划解决菜肴准备时间问题 public static int maxSatisfaction(Dish[] dishes, int totalHours) { int[] dp = new int[(int) (totalHours * 2) + 1]; // 以0.5为单位 for (Dish dish : dishes) { for (int j = dp.length - 1; j >= (int) (dish.time * 2); j--) { dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - (int) (dish.time * 2)] + dish.value); } } return dp[dp.length - 1]; } public static void main(String[] args) { Dish[] dishes = { new Dish(1, 1), // 前菜 new Dish(2, 5), // 主菜 new Dish(1.5, 3) // 甜点 }; int totalHours = 4; int maxSatisfaction = maxSatisfaction(dishes, totalHours); System.out.println("最大满足度为: " + maxSatisfaction); } }

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738 图示解释

逻辑和处理用图示解释更为直观。下面是状态转移过程中的图示：

0 1 2 3 4 总小时数 0 (0,0,0,0,0) 初始 1 (0,1,1,1,1) 前菜 2 (0,1,5,6,6) 主菜 3 (0,1,5,6,8) 甜点 12345 初始状态：所有小时数对应的最大化满足度为0。加入前菜：在1小时内最大化满足度为1，其它小时满足度不变。加入主菜：时间为2小时时，最大化满足度为5；时间为3小时内，最大化满足度为6（前菜加主菜）。加入甜点：时间为4小时时，最大化满足度为8。

通过图示，我们可以直观地理解动态规划的状态转移及其过程。

动态规划的合理使用场景 分阶段决策问题：每个阶段的决策依赖于前面的决策结果。最优化问题：寻找某种最优解，如最大值或最小值问题。重叠子问题：问题可以分解为更小的问题，并且小问题重复出现。