计算机网络原理 第4章 数据链路层 循环冗余码 应用

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在计算机网络和数据通信中，用得最广泛的检错码， 是一种漏检率低得多也便于实现的循环冗余码 CRC， CRC码又称为多项式码

任何一个由二进制数位串组成的代码， 都可以唯一地与一个只含有0和1两个系数的多项式建立一一对应的关系。 例如， 代码1010111 对应的多项式为   ,  同样多项式 

对应的代码为101111。

CRC码在发送端编码和接收端校验时， 都可以利用事先约定的生成多项式G(X)来得到。 k位要发送的信息可对应于一个（k-1）次多项式K(X), r位冗余位则对应于一个(r-1)次多项式R(X), 由k位信息位后面加上r位冗余位组成的n=k+r位码字则对应于一个(n-1) 次多项式  , 例如

信息位： 1011001       --->   

冗余位：1010            --->      

码字：    10110011010  ---->T(X) =  X的4次方 * K(X) + R(X)

                                                         = X的10次方+ X的8次方+ X的7次方+ X的4次方+ X的3次方+ X

由信息位产生冗余位的编码过程，就是已知K(X)求R(X)  的过程。在CRC码中可以通过找到一个特定的r次多项式G(X) (其最高项 

 的系数恒为1 )， 然后用   K(X) 去除以G(X), 得到的余式就是R(X). 

特别要强调的是，这些多项式中的 " + " 都是 模2加（也就是异或运算）； 此外这里的除法也是模2除法， 即除法过程中用到的减法是模2减法， 它和模2加法的运算规则一样， 都是异或运算， 这是一种不考虑加法进位和减法借位的运算，即

 0 + 0 =0， 0+1 =1， 1+0=1， 1+1=0

0-0=0， 0-1=1， 1-0=1， 1-1=0；

在进行基于模2运算的多项式除法时，只要部分余数首位为1， 便可上商1， 否则上商0， 然后按模2减法求得余数， 该余数不计最高位。 当被除数逐位除完时， 最后得到比除数少一位的余数。此余数即为冗余位，将其添加在信息位后便构成CRC码字。

其中Q（X）为商式。根据模2运算规则R（X）+R（X）=0的特点， 可将上式改记为

     [X的r次方 * K（X） + R（X）] / G（X） =Q（X）

   即 T（X） / G（X） = Q（X）

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理论上可以证明循环冗余校验码的检错能力有以下特点：

可检测出所有奇数位错可检测出所有双比特的错可检测出所有小于、等于校验位长度的突发错

CRC码是由 X的r次方 * K（X）除以某个选定的多项式后产生的， 所以该多项式称生成多项式。一般来说，生成多项式位数越多校验能力越强。 但并不是任何一个 r + 1 位的二进制数都 可以作 生成多项式。 目前广泛使用的生成多项式主要有以下四种：

例1： 已知生成多项式：， 求信息位 1010010 的CRC码

解析： 因为信息位为1010010,   所以对应的公式 K(x) =   ,  

又因为生成多项式 C(X) =   , 故取r=4,  则 X的4次方 * K(X) =   ，对应的代码 10100100000， 

由模2除法 求得余式R(X) =     , 又因为T(X) = X的4次方 *  K(X)  + R(X), 所以

T(X) =  ,    所以T(X) 对应的代码为 10100101011，  

故信息位 1010010 的 CRC码为 10100101011                                                     

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模2除法_百度百科

https://wapbaike.baidu.com/item/%E6%A8%A12%E9%99%A4%E6%B3%95/10416971?fr=aladdin&ms=1&rid=10802194830799160434&rt=true&bk_tashuoStyle=topLeft&bk_share=qqbrowser&bk_sharefr=lemma&sc_id=TVGczgD

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