抽屉原理及其在初等数学中的应用.doc

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文档介绍：抽屉原理及其在初等数学中的应用
摘要:抽屉原理是组合数学中的一个最基本的原理. 各种形式的抽屉原理在初等数学中经常被采用. 本文着重阐述了几种抽屉的构造方法:利用区间分组构造抽屉、利用整数分组构造抽屉、利用颜色分组构造抽屉、分割图形构造抽屉、利用余数构造抽屉. 分析了抽屉原理在初等数学中的解题应用等.
关键词:抽屉原理;初等数学;抽屉构造
一、引言
抽屉原理是组合数学中的一个最基本的原理. 该原理是说明在一个操作的所有可能结果事件中,,我们可以把抽屉原理作为一种重要的非常规解题方法,,类似题型经常出现。
二、抽屉原理。
抽屉原理概括起来主要有下面几种形式:
(一)、原理Ⅰ[1::如果n+1个物体放进n个盒子,那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体.(二)、原理Ⅱ[1: :把m个元素任意放到n(m>n)个集合里,则至少有一个集合里至少有
k个元素,其中:1、k=m/n,(当n能整除m时);
2、k=[m/n:+1, (当n不能整除m时)([m/n:表示不大于m/n的最大整数, 亦即m/n的整数部分);
(三)、原理Ⅲ[1: :把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合, 则至少有一个集合中仍含无穷个元素.
三、构造抽屉的方法。
在初等数学的学习中, 我们可以通过如下的几种方法构造出合理的抽屉:
(一)、利用区间分组构造抽屉。当问题的结论与某个区间有关时,我们可以把该区间平均分开,划分为若干个区间,每个区间就是一个抽屉。
例1:在某次英语考试中, 初二(3)班共有47名学生参加考试, 成绩都是整数, 总分为100分. 其中有3名学生的成绩在60分以下, 其余均在75~95分之间. 问:至少有几名学生的成绩相同?
解:我们以成绩为抽屉, 学生为苹果. 除3名成绩在60分以下的学生外, 其余成绩均在75~95分之间, 75~95共有21个不同分数, 将75~95划分为21个等分区间, 也就是把这21个分数作为21个抽屉, 把47-3=44(个)学生作为苹果. 44÷21= 2……2, 根据抽屉原理Ⅱ, 至少有1个抽屉中有2+1=3个苹果, 即这47名学生中至少有
3名学生的成绩是相同的.
(二)、利用整数分组构造抽屉。当问题涉及整数的和、差、倍数等关系的时候,我们可以把题目中的数作为一些抽屉,之后利用抽屉原理去解。
例2[2::从1到18这18个数中,任取10个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数.
解:把这18个数按奇数及其倍数分成以下9组,看成9个抽屉:{1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10},{7,14},{9, 18},{11},{13},{15},{17}.其中前5个抽屉中都含有两个以上的数, ,根据抽屉原理Ⅰ,,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数.
(三)、利用颜色分组构造抽屉。当问题涉及到不同颜色的线段、小球、筷子、小棒、盘子等的时候, 我们可以将颜色作为分组的根据, 即抽屉.
例3[

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