组合数学(卢开澄版)(第三版)习题答案.doc

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第1章 排列与组合 经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答： 1.8 1.9 1.16 1.41（答案略） 1.42（答案略） 1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足： [解] (a) 将上式分解，得到 a = b–5，a=0时，b＝5，6，7，…,50。满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b＝0，1，2，…,45。满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计个点. (b) 。 1.2 5个女生，7个男生进行排列， (a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？ (c) 两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少？ [解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。 （7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400 (b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空 中选5个空隙，有种选择。将女生插入，有5!种方案。故按乘法原理，有： 7!××5!种)方案。 (c) 先从5个女生中选3个女生放入A，B之间，有种方案，在让3个女生 排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8! 由于A，B可交换，如图 **A***B** 或 **B***A** 故按乘法原理，有： 2××3!×8!=4838400（种） 1.3 m个男生，n个女生，排成一行，其中m，n都是正整数，若 (a) 男生不相邻(m≤n+1)； (b) n个女生形成一个整体； (c) 男生A和女生B排在一起； 分别讨论有多少种方案. [解] (a) 先将n个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m个空隙，共有种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有： n!××m!＝n!××m!=种方案。 (b) n个女生形成一个整体，看作一个人，与m个男生做重排列，然后，n个女生内部再作排列，按乘法原理，有(m+1)!×n!种方案。 (c) 男生A和女生B排在一起，看作一人，和其余n-1+m-1=n+m-2个人一起，作排列，共有(n+m-2+1)=(n+m-1)!种方法，A，B两人内部交换，故有2×(n+m-1)!种方案。 1.4 26个英文字母进行排列，要求x和y之间有5个字母的排列数. [解] 选入26－2＝24个字母中选取5个字母，有种方法，5个字母内部排列，有5!种方案，再将X*****Y这7个字母看作一个，与其余19个合起来作排列，共有(19+1)!=20!种方案，又因为X与Y可交换，故按乘法原理，有： 2××5!×20!=2××5!×20!=40×24! ≈ 40×× 又因为：ln40+0.5(lg+lg48)+24(lg24–lge) ≈1.602059991+0.5(0.497149872+1.681241237)+24(1.380211242-0.434294481) =25所以，结果为＝2.473191664× 1.5 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字. [解] 3000~8000中各位不同的奇数，分类讨论： 首位3，1×8×7×4（末位不能取3） 首位4，1×8×7×5（末位全取） 首位5，1×8×7×4 首位6，1×8×7×5 首位7，1×8×7×4 从而，由加法原理，得： 8×7×（4＋5＋4＋5＋4）=56×22＝1232个。 1.6 计算 [解] (参见p14) 1.7 试证 被2n除尽. [证] 故能被整除。 1.8 求1040和2030的公因数. [解] 1.9 试证n2的正除数的数目是奇数. [解] 1.10 证明任一正整数n可惟一地表示成如下形式： [证].(1)可表示性： 令M={(am-1,am-2,(,a2,a1):0(ai(i，i=1,2,(,m-1}，显然(M(=m!； N={0,1,2,(,m!-1}，显然(N(=m!，其中m是大于n的任意整数。 定义函数f : M(N f(am-1,am-2,(,a2,a1)=am-1(m-1)!+am-2(m-1)!+(+a22!+a11! (*) 显然，0= 0(m-1)!+0(m-1)!+(+0(2!+0(1! ( am-1(m-1)!+am-2(m-1)!+(+a22!+a11! ( (m-1)(m-1)!+(m-2)(m-1)!+(+2(2!+1(1! = m!-1 （见P14） 即0( f(am-1,am-2,(,a2,a1

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