算法的力量之一：九九乘法表背后的秘密

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10进制相对于四大发明而言是更为底层的生产力，也正因为它太过基础，数千年来总是被世人所忽略甚至遗忘。也许，我们应该寻找并纪念这个发明了10进制的先人。

比较学术的说辞，算法(Algorithm)是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。在数学和计算机科学之中，算法为一个计算的具体步骤，常用于计算、数据处理和自动推理。计算机进行计算的过程便是执行算法的过程。

我不打算从学术细节推进本书的形成，如果那样的话你还不如问百度或者Google，一个是国内最聪明的“大脑”，一个是全球最聪明的。另一个方面的原因是，我们很多小读者可能理解不了太过于高深的学术语言。我更乐意小朋友们来读这本书，而不是大人，因为大人改变世界的可能性已经接近于0，而小朋友则接近于1%。

相信看到这本书的朋友都认识下面的这张表，没错，它就是九九乘法口诀表，小学二年级的必懂知识之一。它曾经印在我们的铅笔盒的一张表。如果我没有记错的话，有一个晴天的晚上，数学老师抽查背这个表，有一大半的同学背不出来，包括我，于是，背出来可以先回家，其他留堂抄十遍，弄得回到家都已经洗过碗，发现碗柜还有留饭留菜，三几口就干掉。

中国孩子眼里的九九乘法表只是一张表，它的意义也只在于教会小学生算乘法。如果说加和减可以通过算脚指头或者数玉米来完成，那么，乘法的完成则更多依靠大脑进行一段抽象的运算，运用并且借助于看似简单的规则计算出来一个结果，2×2一定等于4，3×5一定等于15，规则是固化的，结果也是固化的。

我们深入了解就会知道，九九乘法表基于10进制而来。这是更底层的规则。我们祖国是最早使用10进制的国家与社会，是中华四大发明外的一个伟大创举。至迟在商代时，中国已普遍采用十进位值制。从现已发现的商代陶文和甲骨文中，可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等十三个数字，记十万以内的任何自然数。这些记数文字的形状，后世虽有所变化，但记数方法却从没有中断，一直被沿袭，并日趋完善。

大约中国春秋战国时代，我们的祖先发明出来九九表，后来东传入高丽、日本，经过丝绸之路西传印度、波斯，继而流行全世界。十进位制和九九表是古代中国对世界文化的一项非常并且极其重要的贡献。

相对于其他记数法而言，十进位值制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。正如李约瑟所说的：“如果没有这种十进位制，就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

古巴比仑的记数法虽有位值制的意义，但它采用的是六十进位，计算非常繁琐。数字从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四个数字符号，而且这些符号都是象形的，如用一只鸟表示十万。古希腊由于几何发达，因而轻视计算，记数方法落后，全部用希腊字母来表示一到一万的数字，字母不够就用加符号的方法来补充。

古罗马则采用的是累积法，如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示，又有用累积法，到公元七世纪时方才使用十进位值制，很可能受到中国的影响。现在通用的印度&阿拉伯数字和记数法，大约在十世纪时才传到欧洲。

运用乘法表，计算13×5很容易得到65这个结果。古埃及没有乘法表。考古家发现，古埃及人是通过累次迭加法来计算乘积的。例如计算 5x13，先把13+13得26，再迭加26+26=52，然后再加上13得65，你可以想象，如果58x72要算多久。

十进制的来源与人类的十个手指有密切关系，直到今天，数手指头是小孩们进行加减法计算的最好选择，所以从根源上来说，十进制来自于自然界或者说生物的进化，当然，十进制成为全世界通用文明，代替其他的12进制、20进制、60进制，本身也是一个类似于生物般的进化，存在一种物竞天择、适者生存的机制。

相较于其他进制，十进制变量更少。如果单从数学上讲，任何进制都可以使用，数学的本质不会因为进制而改变，而进制只是人类来描述某个数的记号而已，但是，既然一个数需要来描述与计算，就必然用到进制。那么，为什么最后留下来的是10进制呢？如同前面所述，我们不讨论学术性，那么，我们这里从实用性来探讨。

那么什么样的进制是“好的”，或者说“更实用，更方便”的呢？

1，进制不能太大，也不能太小。进制太大的话，就需要更多的基本数字。想象下，记住10个阿拉伯数字容易，还是记住26个英文字母容易。进制太小的话，写一个数就要用更多的位数。想象下，古代人要是用2进制写个数学四则运算式子，纸张不够用的；

2，与现实生活对应。古代人用数字不是用来考试的，而是用来生活。计数上，智力不高的古人最方便的自然是用手指计数。那么10进制很自然也最合情合理。它更容易理解与计算，也更容易传授，相关的运算最节省大脑的资源；

3，数学上的便利。主流的进制都是偶数，很少有拿奇数做进制的，为什么呢？这就在于数学上的便利。如果某个进制数有因数，那么在此进制体系中可以直接根据某个数字的位直接判断这个数能否整除。

例如，10进制中，个位是偶数，那这个个位自然是偶数。个位是5的话，我们直接就明白这个数能被5整除。奇数进制中，就无法根据个位来判断奇偶了。这样一来，因数越多的进制就越有利。例如12进制，24进制，60进制，都胜于10进制。

作为人类的一种底层生产力，十进制深刻并且深远地影响上层建筑。例如，大地湾仰韶晚期曾出土一组陶质量具，主要有泥质槽状条形盘、夹细砂长柄麻花耳铲形抄、泥质单环耳箕形抄、泥质带盖四把深腹罐等。其中条形盘的容积约为264.3立方厘米；铲形的自然盛谷物容积约为2650.7立方厘米；箕形的自然盛谷物容积约为5288.4立方厘米；四把深腹罐的容积约为26082.1立方厘米。通过计算，我们发现除箕形抄是铲形抄的二倍外，其余三件的关系都是以十倍的递增之数。

这些度量衡具的发现也为研究我国古代十进制的起源等，提供非常珍贵的实物资料，另一方面，也可以看得出来，十进制在当时已经成为一种普适的计算方式并运用于普通人的日常生活当中，从一些古代留传下来的成语我们可以印证这种说法，例如一马当先，一言九鼎，十室九空。

统一的计算规则之意义不亚于秦朝变法之车同轨、书同文、行同伦，一同成为华夏文明的基石。10进制相对于四大发明而言是更为底层的生产力，也正因为它太过基础，数千年来总是被世人所忽略甚至遗忘。

也许，我们应该寻找并纪念这个发明了10进制的先人。

完

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