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高等数学（下）多元函数微分法及其应用
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林夕林夕 于 2018-07-02 11:29:47 发布
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本文深入探讨了多元函数的微分法，包括极限、偏导数、全微分、复合函数求导、方向导数和梯度的概念及应用。详细阐述了多元函数在几何上的应用，如空间曲线的切线和法平面，以及曲面的切平面和法线。此外，还讲解了如何寻找多元函数的极值，包括无条件极值和条件极值的求解方法。
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1 多元函数的基本概念 1.1 极限 1.1.1 定义 2 偏导数 2.1 偏导数的定义 2.2 偏导数的计算 2.3 高阶偏导数 2.3.1 定义 2.3.2 定理 2.4 隐函数的求导公式 2.4.1 公式法 2.4.2 直接法 3 全微分 3.1 计算法 4 多元复合函数的求导法则 4.1 链式法则 5 方向导数和梯度 5.1 方向导数 5.1.1 定理 5.1.2 方向导数的几何意义 5.2 梯度 5.2.1 梯度的方向和模 5.2.2 计算法 6 多元函数微分学的几何应用 6.1 空间曲线的切线与法平面 6.1.1 计算法 6.1.1.1 参数方程情形 6.1.1.2 一般方程情形 6.2 空间曲面的切平面和法线 6.2.1 求法 6.2.1.1 显式方程z=f(x,y)z=f(x,y)z = f(x, y) 6.2.1.2 隐式方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0 7 多元函数的极值及其求法 7.1 无条件极值 7.1.1 极值的必要条件 7.1.2 极值的充分条件 7.2 条件极值 7.2.1 化为无条件极值 7.2.2 拉格朗日乘数法 1 多元函数的基本概念
1.1 极限
1.1.1 定义 设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点，
如果存在常数A，对于∀ϵ>0，∃δ>0使得当点P(x,y)∈D∩U(P0,δ)时，
都有|f(P)−A|=|f(x,y)−A|<ϵ 成立,则称常数A为函数f(x,y) 当(x,y)→(x0,y0)时的极限，
记做
lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A
或
limP→P0f(P)=A
2 偏导数
2.1 偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量
f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)
如果
limΔx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx
存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数记做
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