深度学习与机器人控制中的鲁棒策略优化
1 最优策略的解析证明
在机器人控制中，获得最优策略是至关重要的。本节将详细解析如何在连续时间情况下，通过严格的数学推导，获得最优策略。具体来说，如果动态是控制仿射的，奖励与状态和动作是可分离的，并且动作成本是正定且严格凸的，那么可以解析地获得最优策略。
1.1 动态仿射和奖励分离的条件 假设系统的动态模型为：
[ \dot{x} = a(x) + B(x)u ]
其中 ( a(x) ) 是非线性漂移，( B(x) ) 是非线性控制矩阵，( u ) 是控制输入。奖励函数可以分解为状态奖励 ( q_c(x) ) 和动作成本 ( g_c(u) )：
[ r(x, u) = q_c(x) - g_c(u) ]
这种分解对于机器人控制问题非常常见，因为奖励通常由量化到期望状态的距离和动作惩罚组成。动作成本 ( g_c(u) ) 是非线性的、正定的且严格凸的，以确保动作的唯一最优解。
1.2 最优策略的解析推导 为了获得最优策略，我们需要解决哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。假设价值函数 ( V^ (x) ) 是可微的，我们可以将 HJB 方程重写为：
[ \rho V^ (x) = \max_u [q_c(x) - g_c(u) + \nabla_x V^*(x)^T [a(x) + B(x)u]] ]
其中 ( \rho ) 是折扣因子。通过将动态模型代入，我们得到：
[ u^ = \arg\max_u [\nabla_x V^ (x)^T B(x)u -
