家务分配最优解：动态规划实战

发布时间：2025-11-27 06:04

税务规划需与财务规划相结合，实现最优税务策略 #生活技巧# #理财投资建议# #税务规划指南#

文章摘要

本文探讨了如何用动态规划方法分配家务任务以最小化总耗时。问题描述为将N项家务分配给三人（爸爸、妈妈、孩子），每人完成不同家务的时间不同。解决方案采用三维DP数组dp[i,j,k]表示前i项家务中爸爸做j项、妈妈做k项时的最小耗时，通过状态转移逐步更新最优解。文章提供了完整的C#实现代码，以3项家务为例详细展示了状态转移过程，最终得到最小总耗时7。该方法时间复杂度为O(n³)，适用于中等规模的问题，并可扩展至其他任务分配场景。若需具体分配方案，可进一步优化代码输出路径。

1. 问题描述

假设有N项家务，三个人（爸爸、妈妈、孩子），每个人做每项家务的耗时不同。
目标：将所有家务分配给三人，使得总耗时最短（每项家务只能分配给一个人）。

例如：

家务编号爸爸耗时妈妈耗时孩子耗时032412332425

2. 动态规划建模

状态定义用dp[i, j, k]表示前i项家务，爸爸做j项，妈妈做k项时的最小总耗时。孩子做的项数 = i - j - k。状态转移第i项家务可以分配给爸爸、妈妈或孩子，分别更新状态。初始状态 dp[0, 0, 0] = 0（还没分配家务，耗时为0）目标分配完所有家务后，i = N，遍历所有j, k，取最小的dp[N, j, k]。

3. C#代码实现

using System; class HouseworkAssignment { // n: 家务数量 // time[person, task]: 第person个人做第task项家务的耗时 public static int MinTotalTime(int n, int[,] time) { // dp[i, j, k]: 前i项家务，爸爸做j项，妈妈做k项的最小总耗时 // 三维数组，最大家务数为n int[,,] dp = new int[n + 1, n + 1, n + 1]; int INF = int.MaxValue / 2; // 初始化 for (int i = 0; i <= n; i++) for (int j = 0; j <= n; j++) for (int k = 0; k <= n; k++) dp[i, j, k] = INF; dp[0, 0, 0] = 0; // 动态规划 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j <= i; j++) { for (int k = 0; k <= i - j; k++) { int l = i - j - k; // 孩子做的家务数 if (dp[i, j, k] == INF) continue; // 分配第i项家务给爸爸 dp[i + 1, j + 1, k] = Math.Min(dp[i + 1, j + 1, k], dp[i, j, k] + time[0, i]); // 分配给妈妈 dp[i + 1, j, k + 1] = Math.Min(dp[i + 1, j, k + 1], dp[i, j, k] + time[1, i]); // 分配给孩子 dp[i + 1, j, k] = Math.Min(dp[i + 1, j, k], dp[i, j, k] + time[2, i]); } } } // 找最小值 int minTime = INF; for (int j = 0; j <= n; j++) { for (int k = 0; k <= n - j; k++) { minTime = Math.Min(minTime, dp[n, j, k]); } } return minTime; } static void Main() { int n = 3; // time[person, task] int[,] time = new int[3, 3] { { 3, 2, 4 }, // 爸爸 { 2, 3, 2 }, // 妈妈 { 4, 3, 5 } // 孩子 }; int minTime = MinTotalTime(n, time); Console.WriteLine("最小总耗时: " + minTime); } }

csharp

运行

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768

4. 代码说明

三维dp数组，记录每种分配方式下的最小耗时。每次分配家务时，三个人分别尝试，更新状态。最后遍历所有分配完的状态，取最小值。

5. 复杂度与适用范围

时间复杂度：O(n³)，适合家务项数不太多（比如n≤20）。如果家务项数很多，可以用状态压缩（位运算）优化。

6. 生活化总结

这个模型可以推广到团队任务分配、项目分工等多种现实场景。
如果你想要输出具体的分配方案（谁做了哪些家务），也可以继续问我！

我们以你上面给的例子为例，详细展示每一步的状态转移和数据表格。

问题回顾

家务数 n = 3
耗时表（time[person, task]）：

家务编号爸爸妈妈孩子032412332425

状态定义

dp[i, j, k]：前i项家务，爸爸做j项，妈妈做k项的最小总耗时。孩子做的项数 = i - j - k

初始状态

dp[0, 0, 0] = 0 其余为INF

第1项家务（i=0 → i=1）

遍历dp[0, 0, 0] = 0，分配第0项家务：

爸爸做：dp[1, 1, 0] = 0 + 3 = 3妈妈做：dp[1, 0, 1] = 0 + 2 = 2孩子做：dp[1, 0, 0] = 0 + 4 = 4 ijkdp[i, j, k]110310121004

第2项家务（i=1 → i=2）

遍历所有i=1的状态：

1. 从dp[1, 1, 0] = 3（爸爸做了1项，妈妈0项）爸爸做：dp[2, 2, 0] = 3 + 2 = 5妈妈做：dp[2, 1, 1] = 3 + 3 = 6孩子做：dp[2, 1, 0] = 3 + 3 = 6 2. 从dp[1, 0, 1] = 2（爸爸0项，妈妈1项）爸爸做：dp[2, 1, 1] = min(6, 2+2) = 4妈妈做：dp[2, 0, 2] = 2 + 3 = 5孩子做：dp[2, 0, 1] = 2 + 3 = 5 3. 从dp[1, 0, 0] = 4（爸爸0项，妈妈0项）爸爸做：dp[2, 1, 0] = min(6, 4+2) = 6妈妈做：dp[2, 0, 1] = min(5, 4+3) = 5孩子做：dp[2, 0, 0] = 4 + 3 = 7 ijkdp[i, j, k]220521142106202520152007

第3项家务（i=2 → i=3）

遍历所有i=2的状态：

1. 从dp[2, 2, 0] = 5 爸爸做：dp[3, 3, 0] = 5 + 4 = 9妈妈做：dp[3, 2, 1] = 5 + 2 = 7孩子做：dp[3, 2, 0] = 5 + 5 = 10 2. 从dp[2, 1, 1] = 4 爸爸做：dp[3, 2, 1] = min(7, 4+4) = 7妈妈做：dp[3, 1, 2] = 4 + 2 = 6孩子做：dp[3, 1, 1] = 4 + 5 = 9 3. 从dp[2, 1, 0] = 6 爸爸做：dp[3, 2, 0] = min(10, 6+4) = 10妈妈做：dp[3, 1, 1] = min(9, 6+2) = 8孩子做：dp[3, 1, 0] = 6 + 5 = 11 4. 从dp[2, 0, 2] = 5 爸爸做：dp[3, 1, 2] = min(6, 5+4) = 6妈妈做：dp[3, 0, 3] = 5 + 2 = 7孩子做：dp[3, 0, 2] = 5 + 5 = 10 5. 从dp[2, 0, 1] = 5 爸爸做：dp[3, 1, 1] = min(8, 5+4) = 8妈妈做：dp[3, 0, 2] = min(10, 5+2) = 7孩子做：dp[3, 0, 1] = 5 + 5 = 10 6. 从dp[2, 0, 0] = 7 爸爸做：dp[3, 1, 0] = min(11, 7+4) = 11妈妈做：dp[3, 0, 1] = min(10, 7+2) = 9孩子做：dp[3, 0, 0] = 7 + 5 = 12 ijkdp[i, j, k]3309321732010312631183101130373027301930012

最终答案

遍历所有dp[3, j, k]，取最小值：

6（dp[3, 1, 2]），即爸爸做1项，妈妈做2项，孩子做0项。

总结

每一步的状态转移都如上表格所示。你可以看到，动态规划通过枚举每种分配方式，逐步更新最优解，最终得到最小总耗时。

网址：家务分配最优解：动态规划实战 https://www.yuejiaxmz.com/news/view/1410887

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