泰勒展开（简明微积分）

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贡献者： addis; DTSIo; Giacomo

预备知识　阶乘，高阶导数，分部积分法，幂级数（简明微积分）

　　1若函数 在开区间 内可以求任意阶的导数（例如多项式，幂函数，三角函数，指数函数，对数函数等），那么这个函数可以用多项式近似，且在某种意义下，总项数 越多，近似得越精确。确切地说，对于任何 , 存在唯一一个数列 , 使得对于任何正整数 , 皆有（其中 始终视为 ，即使 ）

每一个系数

由函数在

处的第

阶导数求得

注意其中 0 的阶乘为

。另外由式 1 得，当

时，函数值等于多项式值。当项数

有限时，通常

越小多项式就越接近函数。以上这种把函数展开成多项式的方法就叫泰勒展开（Taylor expansion），得到的多项式叫做泰勒级数（Taylor series）。我们先来看一个例子：

例 1　正弦函数

　　 我们在 处展开 ，由式 1 和式 2 得

取不同的项数

求和，画图如图 1 。可见随着项数增加，多项式慢慢趋近正弦函数。

图 1：

在原点处的泰勒展开的前

项求和。容易看出，求和的项数越多，多项式（橙）与

（蓝）吻合得越好。

习题 1　一些常见函数关于原点的泰勒展开

　　 关于原点的泰勒展开又叫麦克劳林展开，请验证以下的麦克劳林展开：

1. 收敛半径

　　 我们把形如 的表达式叫做幂级数（power series）。泰勒展开就是在用幂级数表示函数。如果某幂级数收敛的点不止 一点，那么必定存在一个收敛半径（radius of convergence） ，使得当 时级数必定收敛，而 是必定发散（不收敛）。

　　 所以在进行泰勒展开时，如果函数在除了若干发散点2外都无穷阶可导，令离 最近的发散点为 ，那么 关于 泰勒展开后，幂级数的收敛半径就是 。

　　 例如在式 7 到式 9 中，函数的发散点距离原点都是 1，所以幂级数收敛半径为 1，所以即使在 的另一侧 处处无穷可导，仍然不能取 。

2. 幼稚的推导

　　 这里给出一个比较直观的对比系数推导方法，可能对初学者有一定启发或者帮助记忆。但以后会看到这是不严谨的。

　　 我们假设当项数 时，存在唯一的多项式在某区间内处处趋于无穷可导函数 ，即

首先代入

，可得第一个系数

。现在我们对上式两边在

处求导，得

如果对式 10 两边在

处求二阶导数，得

即

。 以此类推，如果对式 10 两边在

处求

阶导数得

所以系数公式为

　　 泰勒展开的存在说明了一些函数（称为解析函数）具有这样的性质：任何一点的性质都能决定完整的函数曲线，这可以类比生物中用一个细胞克隆出一个完整生物体。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 如式 7 中的 ，式 8 和式 9 中的

网址：泰勒展开（简明微积分） https://www.yuejiaxmz.com/news/view/1401866

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