泰勒展开式

《团队建设的七个步骤》- 理查德·泰勒：系统化的团队发展框架 #生活技巧# #团队建设技巧# #团队建设书籍推荐#

常用的 泰勒展开式（Taylor series expansion）是指把一个函数在某点的邻域内展开成幂级数的形式。以函数 f(x)f(x)f(x) 在点 aaa 处展开为例，其泰勒展开式为：

f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f(3)(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+⋯ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)​(x−a)2+3!f(3)(a)​(x−a)3+⋯+n!f(n)(a)​(x−a)n+⋯

简写形式为：

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n f(x)=n=0∑∞​n!f(n)(a)​(x−a)n

特殊情况：以 0 为中心的泰勒展开（即 麦克劳林展开）：

f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+⋯ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)​x2+⋯+n!f(n)(0)​xn+⋯

好的，我们将逐个介绍常见函数的泰勒展开式，并分开说明每个函数的表达式、泰勒展开通项、收敛域与推导过程，不使用表格，方便你逐一理解和掌握。

1. exe^xex 的泰勒展开

表达式：

f(x)=ex f(x) = e^x f(x)=ex

泰勒展开（以 a=0a = 0a=0 为例）：

ex=∑n=0∞xnn! e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} ex=n=0∑∞​n!xn​

推导过程：

由于 exe^xex 的导数满足 f(n)(x)=exf^{(n)}(x) = e^xf(n)(x)=ex，所以在 x=0x=0x=0 处有：

f(n)(0)=e0=1 f^{(n)}(0) = e^0 = 1 f(n)(0)=e0=1

因此带入泰勒公式（麦克劳林展开）：

f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!xn=∑n=0∞xnn! f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} f(x)=n=0∑∞​n!f(n)(0)​xn=n=0∑∞​n!xn​

收敛域：

整条实数轴 (−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞)，因为 lim⁡n→∞∣xn+1/(n+1)!xn/n!∣=0\lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!} \right| = 0limn→∞​

​xn/n!xn+1/(n+1)!​

​=0。

2. sin⁡x\sin xsinx

表达式：

f(x)=sin⁡x f(x) = \sin x f(x)=sinx

泰勒展开（以 a=0a = 0a=0 为例）：

sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)! \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} sinx=n=0∑∞​(−1)n(2n+1)!x2n+1​

非零项出现在奇数阶导数中：

⇒sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯ \Rightarrow \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots ⇒sinx=x−3!x3​+5!x5​−⋯

收敛域：

(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞)，因为级数收敛半径是无限大。

3. cos⁡x\cos xcosx

表达式：

f(x)=cos⁡x f(x) = \cos x f(x)=cosx

泰勒展开（以 x=0x = 0x=0）：

cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)! \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} cosx=n=0∑∞​(−1)n(2n)!x2n​

只有偶次导数不为零，因此展开为：

cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots cosx=1−2!x2​+4!x4​−⋯

收敛域：

(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞)

4. ln⁡(1+x)\ln(1 + x)ln(1+x)

表达式：

f(x)=ln⁡(1+x) f(x) = \ln(1 + x) f(x)=ln(1+x)

泰勒展开（以 x=0x = 0x=0）：

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} ln(1+x)=n=1∑∞​(−1)n+1nxn​

在 x=0x = 0x=0 处：

f(n)(0)=(−1)n+1(n−1)! f^{(n)}(0) = (-1)^{n+1}(n-1)! f(n)(0)=(−1)n+1(n−1)!

带入泰勒公式：

f(x)=∑n=1∞f(n)(0)n!xn=∑n=1∞(−1)n+1xnn f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} f(x)=n=1∑∞​n!f(n)(0)​xn=n=1∑∞​(−1)n+1nxn​

收敛域：

−1<x≤1-1 < x \leq 1−1<x≤1，但注意在 x=1x = 1x=1 （即 ln⁡2\ln 2ln2）处极限存在。

5. 11−x\frac{1}{1 - x}1−x1​

表达式：

f(x)=11−x f(x) = \frac{1}{1 - x} f(x)=1−x1​

泰勒展开（以 x=0x = 0x=0）：

11−x=∑n=0∞xn \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n 1−x1​=n=0∑∞​xn

推导过程：

可以直接利用几何级数公式：

11−x=1+x+x2+x3+⋯=∑n=0∞xn \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty x^n 1−x1​=1+x+x2+x3+⋯=n=0∑∞​xn

或用导数计算也可以验证。

收敛域：

∣x∣<1|x| < 1∣x∣<1

6. arctan⁡x\arctan xarctanx

表达式：

f(x)=arctan⁡x f(x) = \arctan x f(x)=arctanx

泰勒展开（以 x=0x = 0x=0）：

arctan⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1 \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} arctanx=n=0∑∞​(−1)n2n+1x2n+1​

推导过程：

求导：

f′(x)=11+x2=∑n=0∞(−1)nx2n,for ∣x∣<1 f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n},\quad \text{for } |x| < 1 f′(x)=1+x21​=n=0∑∞​(−1)nx2n,for ∣x∣<1

对上式积分即可得：

arctan⁡x=∫0x11+t2 dt=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1 \arctan x = \int_0^x \frac{1}{1 + t^2} \, dt = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} arctanx=∫0x​1+t21​dt=n=0∑∞​(−1)n2n+1x2n+1​

收敛域：

∣x∣≤1|x| \leq 1∣x∣≤1，在 x=±1x = \pm 1x=±1 处条件收敛。

7. sinh⁡x\sinh xsinhx

表达式：

f(x)=sinh⁡x=ex−e−x2 f(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} f(x)=sinhx=2ex−e−x​

泰勒展开（以 x=0x = 0x=0）：

sinh⁡x=x+x33!+x55!+⋯ \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots sinhx=x+3!x3​+5!x5​+⋯

推导过程：

由 exe^xex 和 e−xe^{-x}e−x 展开后相减即可得出，只剩下奇数次幂项。

收敛域：

(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞)

8. cosh⁡x\cosh xcoshx

表达式：

f(x)=cosh⁡x=ex+e−x2 f(x) = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} f(x)=coshx=2ex+e−x​

泰勒展开（以 x=0x = 0x=0）：

cosh⁡x=1+x22!+x44!+⋯ \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots coshx=1+2!x2​+4!x4​+⋯

推导过程：

同理，由 ex+e−xe^x + e^{-x}ex+e−x 展开后相加即可得出，只剩偶数次项。

收敛域：

(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞)

是否需要我接着补充如 tan⁡x\tan xtanx、ln⁡(1−x)\ln(1 - x)ln(1−x)、(1+x)a(1 + x)^a(1+x)a、11+x2\frac{1}{1 + x^2}1+x21​ 等函数的推导？

一、函数 f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex

推导表格（在 x=0x=0x=0 展开） 项目 / 阶数1阶导数2阶导数3阶导数4阶导数5阶导数导函数表达式exe^xexexe^xexexe^xexexe^xexexe^xex导函数在 x=0x=0x=0 处的值111111111111111麦克劳林展开项x11!\frac{x^1}{1!}1!x1​x22!\frac{x^2}{2!}2!x2​x33!\frac{x^3}{3!}3!x3​x44!\frac{x^4}{4!}4!x4​x55!\frac{x^5}{5!}5!x5​

带入麦克劳林公式：

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots ex=n=0∑∞​n!xn​=1+x+2!x2​+3!x3​+⋯

收敛域：全集 R\mathbb{R}R，即任意 xxx 上都收敛。

二、函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx

推导表格（在 x=0x=0x=0 展开） 项目 / 阶数1阶导数2阶导数3阶导数4阶导数5阶导数导函数表达式cos⁡x\cos xcosx−sin⁡x-\sin x−sinx−cos⁡x-\cos x−cosxsin⁡x\sin xsinxcos⁡x\cos xcosx导函数在 x=0x=0x=0 处的值111000−1-1−1000111麦克劳林展开项x1!\frac{x}{1!}1!x​000−x33!-\frac{x^3}{3!}−3!x3​000x55!\frac{x^5}{5!}5!x5​

带入麦克劳林公式：

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots sinx=x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+⋯

收敛域：全集 R\mathbb{R}R

三、函数 f(x)=cos⁡xf(x) = \cos xf(x)=cosx

推导表格（在 x=0x=0x=0 展开） 项目 / 阶数1阶导数2阶导数3阶导数4阶导数5阶导数导函数表达式−sin⁡x-\sin x−sinx−cos⁡x-\cos x−cosxsin⁡x\sin xsinxcos⁡x\cos xcosx−sin⁡x-\sin x−sinx导函数在 x=0x=0x=0 处的值000−1-1−1000111000麦克劳林展开项000−x22!-\frac{x^2}{2!}−2!x2​000x44!\frac{x^4}{4!}4!x4​000

带入麦克劳林公式：

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots cosx=1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+⋯

收敛域：全集 R\mathbb{R}R

四、函数 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1 + x)f(x)=ln(1+x)

推导表格（在 x=0x=0x=0 展开） 项目 / 阶数1阶导数2阶导数3阶导数4阶导数5阶导数导函数表达式11+x\frac{1}{1 + x}1+x1​−1(1+x)2-\frac{1}{(1 + x)^2}−(1+x)21​2(1+x)3\frac{2}{(1 + x)^3}(1+x)32​−6(1+x)4-\frac{6}{(1 + x)^4}−(1+x)46​24(1+x)5\frac{24}{(1 + x)^5}(1+x)524​导函数在 x=0x=0x=0 处的值111−1-1−1222−6-6−6242424麦克劳林展开项x1!\frac{x}{1!}1!x​−x22!-\frac{x^2}{2!}−2!x2​2x33!\frac{2x^3}{3!}3!2x3​−6x44!-\frac{6x^4}{4!}−4!6x4​24x55!\frac{24x^5}{5!}5!24x5​

带入麦克劳林公式：

ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯=∑n=1∞(−1)n+1xnn \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} ln(1+x)=x−2x2​+3x3​−4x4​+⋯=n=1∑∞​(−1)n+1nxn​

收敛域：−1<x≤1-1 < x \le 1−1<x≤1，在 x=1x=1x=1 条件下极限为 ln⁡2\ln 2ln2，故为条件收敛。

五、函数 f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1 - x}f(x)=1−x1​

推导表格（在 x=0x=0x=0 展开） 项目 / 阶数1阶导数2阶导数3阶导数4阶导数5阶导数导函数表达式1(1−x)2\frac{1}{(1-x)^2}(1−x)21​2(1−x)3\frac{2}{(1-x)^3}(1−x)32​6(1−x)4\frac{6}{(1-x)^4}(1−x)46​24(1−x)5\frac{24}{(1-x)^5}(1−x)524​120(1−x)6\frac{120}{(1-x)^6}(1−x)6120​导函数在 x=0x=0x=0 处的值111222666242424120120120麦克劳林展开项xxxx2x^2x2x3x^3x3x4x^4x4x5x^5x5

带入麦克劳林公式：

11−x=1+x+x2+x3+⋯=∑n=0∞xn \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty x^n 1−x1​=1+x+x2+x3+⋯=n=0∑∞​xn

收敛域：∣x∣<1|x| < 1∣x∣<1

是否需要我继续为例如 arctan⁡x\arctan xarctanx、sinh⁡x\sinh xsinhx、tanh⁡x\tanh xtanhx、11+x2\frac{1}{1+x^2}1+x21​ 等函数做类似表格推导？

网址：泰勒展开式 https://www.yuejiaxmz.com/news/view/1401867

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