生活中的优化问题举例教学课件1.ppt

发布时间：2024-11-28 04:14

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1.4　生活中的优化问题举例能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型． 1．解决实际应用问题的基本步骤一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行： (1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化． (2)引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型． (3)运用数学知识和方法解决上述问题． (4)检验结果的实际意义并给出答案． 2．求最优化问题的步骤求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值． 1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由和确定，当定义域是且函数只有一个时，这个也就是它的． 2．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为．通过前面的学习，我们知道是求函数最大(小)值的有力工具，运用可以解决一些生活中的． [例1]　在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ [分析]　根据所给几何体的体积公式建模． [解析]　设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)＝(60－2x)2·x(0x30) ＝4x3－240x2＋3600x. ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) 当0x10时，V′(x)0，当10x30时，V′(x)0. ∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大． [点评]　在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值． [解析]　设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh， [例2]　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ [分析]　根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置． [解析]　解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则 ∵BD＝40，AC＝50－x，令y′＝0，解得x＝30. 当0x30时，y′0；当30x50时，y′0. 因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)． ∴供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省． [点评]　解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价

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