数学PQMN四点都在椭圆x²+y²/2=1上 爱问知识人

小知识内容2: 在超市买鸡蛋，突然问鸡蛋：你为什么总是这么圆？鸡蛋回答：因为我是椭圆的啊，不是圆的叫鸭蛋。 #生活乐趣# #日常生活趣事# #日常生活笑话# #日常幽默故事#

  F(0,1),设直线PQ的t参数方程为x=tcosα,y=1+sinα(α为PQ的倾斜角), ∵ PQ⊥MN, ∴ 直线MN的倾斜角为α+π/2。把直线方程代入2x²-y²-2=0,得 (1+cos²α)t²+2tsinα-1=0, 设P(t1),Q(t2),M(t3),N(t4),则 t1+t2=-2sinα/(1+cos²α), t1t2=-1/(1+cos²α)。
  由t的几何意义,得 |PQ|²=(t1-t2)²=(t1+t2)²-4t1t2=8/(1+cos²α)², ∴ |PQ|=2√2/(1+cos²α)。 把α换成α+π/2,得|MN|=|t3-t4|=2√2/(1+sin²α)。
  四边形PQMN的面积S=0。5×|PQ|×|MN|=4/[(1+cos²α)(1+sin²α)]=32/(1-cos4α), ∵ -1≤cos4α≤1, ∴ 16/9≤S≤2, ∴ S(最小值)=16/9, S(最大值)=2。
  

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