分数函数y=1/x(x^2+1)主要性质归纳

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主要内容：

介绍分数函数y=1/x(x^2+1)的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等主要函数性质，并通过导数知识求解计算函数的单调区间和凸凹区间。

函数定义域及值域：

因为y=1/x(x^2+1)，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知自变量x不为0，所以函数的定义域为(-∞，0)，（0，+∞）。

由于函数的分子为1，所有该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0),(0，+∞）。

函数的单调性：

由y=1/x(x^2+1)，对x求导得：

dy/dx=-[(x^2+1)+x*2x]/[x(x^2+1)]^2,

dy/dx=-(3x^2+1)/[x(x^2+1)]^2<0,

即函数y在定义上为减函数。

函数的凸凹性：

由dy/dx=-(3x^2+1)/[x(x^2+1)]^2，再次对x求导得，

d^2/dx^2

=-{6x[x(x^2+1)]^2-2(3x^2+1)[x(x^2+1)](x^2+1+2x^2)}/[x(x^2+1)]^4，

=-[6x^2(x^2+1)-2(3x^2+1)(3x^2+1)]/[x(x^2+1)] ^3,

=-2[3x^2(x^2+1)-(3x^2+1)^2]/[x(x^2+1)] ^3,

=2(6x^4+3x^2+1)/[x(x^2+1)]^3,可知，

当x>0时，d^2/dx^2>0，此时函数y为凹函数；

当x<0时，d^2/dx^2<0,此时函数y为凸函数。

函数的极限:

lim(x→-∞) 1/x(x^2+1)=0，

lim(x→0-) 1/x(x^2+1)=-∞，

lim(x→0+) 1/x(x^2+1)= +∞，

lim(x→+∞) 1/x(x^2+1)=0，

函数的奇偶性

因为f(x)=1/x(x^2+1),

所以f(-x)=1/{(-x)*[(-x)^2+1]}，即：

f(-x)=-1/x(x^2+1)=-f(x).

所以函数为奇函数，关于原点对称。

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