★已知数列{an}.{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且.求极限的值. 分析 首先需求出an.bn的表达式,以确定所求极限的表达式,为此,关键在于求出两个——青夏教育精英家教网——

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18.(本小题满分10分)已知数列{an}、{bn},其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),试问是否存在这样的自然数n,使得an≤bn成立？

分析 对n赋值后,比较几对an与bn的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以证明.

解 an=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2,

当n=5时,a5=36,b5=25+4=36,此时a5=b5;

当n=6时, a6=49,b6=26+4=68,此时a6<b6;

当n=7时,a7=64,b7=27+4=132,此时a7<b7;

当n=8时,a8=81,b8=28+4=260,此时a8<b8.

猜想:当n≥6时,有an<bn.　　　　 3分

下面用数学归纳法证明上述猜想.

①当n=6时,显然不等式成立,∴n=6时,不等式an<bn成立;

②假设当n=k(k≥6)时,不等式成立,即ak<bk,也即(k+1)2<2k+4;当n=k+1时，bk+1=2k+1+4=2(2k+4)-4>2(k+1)2-4=2k2+4k-2,

而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6,∴k2＞6),

即2k2+4k-2>(k+2)2=［(k+1)+1］2.

由不等式的传递性,知bk+1>［(k+1)+1］2=ak+1.

∴当n=k+1时,不等式也成立.　　 8分

由①②可知,对一切n∈N,且n≥6,都有an<bn.

综上所述,可知只有当n=5时,an=bn;当n≥6时,an＜bn.因此存在使an≤bn成立的自然数n.

10分

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